Invers dari Komposisi Fungsi

Contoh : 

Invers Fungsi

A. Pengertian Invers Fungsi

Definisi invers fungsi

Dua fungsi f dan g  saling invers satu sama lainnya, apabila memenuhi

f[g(x)] = x untuk semua x  dalam domain g

          dan

g[f(x)] = x untuk semua x dalam domain f

Contoh Soal : 

B. Menentukan Formula Invers Fungsi  y = f(x)

         Dalam menentukan formula invers suatu fungsi y = f(x), variable bebas (x) dan variable bergantung (y) dari fungsi itu boleh saling ditukar.

Contoh Soal : 

Komposisi Fungsi

A. Pengertian Komposisi Fungsi

B.  Menentukan Fungsi jika Komposisi Fungsinya Diketahui 

     

C. Sifat-sifat komposisi fungsi 

Sifat-sifat komposisi fungsi :

Aljabar Fungsi

A. Jumlah dan Selisih Fungsi

Jumlah dan selisih fungsi dapat dilakukan dan akan menghasilkan fungsi baru, apabila kedua fungsi tersebut mempunyai domain yang sama atau mempunyai domain persekutuan (irisan), dapat dituliskan sebagai berikut : 

     Jika  f dan g merupakan dua fungsi yang terdefinisi pada domain D_f dan Dg, maka :

     1. Jumlah fungsi f  dan g,  ditulis f + g,  didefinisikan dengan (f + g) (x) = f(x) + g(x) demgan domain D_{f + g} = D_f  ∩  Dg 

     2. Selisih fungsi f  dan g,  ditulis f - g,  didefinisikan dengan (f - g) (x) = f(x) - g(x) demgan domain D_{f - g} = D_f  ∩  Dg 

    Contoh 1  : 

  B. Hasil Kali Dua Fungsi

    Analog dengan jumlah dan selisih dua fungsi, perkalian dua fungsi dapat dilakukan apabila kedua fungsi emmpunyai domain yang sama atau mempunyai domain persekutuan (irisan), dapat dituliskan dengan :

    Contoh 2 :

   C. Hasil Bagi Dua Fungsi

Contoh 3 :

Contoh Soal : 

Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif

A. Fungsi Surjektif

    

     Fungsi f : A → B disebut fungasi into atau fungsi kedalam B, apabila Range dari f(R_f) merupakan himpunan bagian dari kodomain f(K_f).

Contoh : 

B. Fungsi Injektif

     Fungsi f : A → B disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu apabila anggota yang berbeda di B (R_f) mempunyai pasangan yang berbeda di A (D_f). 

- disebut sebagai fungsi injektif atau fungsi satu-satu apabila f(a₁) =f(a₂) maka a₁ =  a₂ atau ekuivalen dengan apabila a₁ ≠ a₂  , maka f(a₁) ≠  f(a₂), untuk sembarang a₁ dan a₂ ∈ A.

Contoh :

C. Fungsi Bijektif

     Fungsi f : A → B disebut fungsi  bijektif atau fungsi berkorespondensi satu-satu apabila anggota- anggota A dan B dapat dipasangkan sedemikian sehingga setiap anggota A berpasangan dengan tepat satu anggota B. hal ini berarti n(A) = n(B).  

- fungsi bijektif = fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif

Contoh : 

Contoh Soal : 

1. Dari fungsi-fungsi yang disajikan dalam diagram panah di bawah ini, manakah yang merupakan fungsi isurjektif, Fungsi injektif , atau Fungsi bijektif ?

a.

b.

c.

d.

Jawab : 

1. Fungsi Surjektif (kedalam)
   Karena kodomainnya tidak sama dengan rangenya.
2. Fungsi onto (kepada) atau fungsi surjektif
   Karena kodomainnya sama dengan rangenya.
3. Fungsi yang injektif (satu-satu) dan juga fungsi into
   Karena setiap elemen di kodomain tepat punya satu pasangan dengan domain.
4. Fungsi yang injektif (satu-satu) dan juga fungsi surjektif
   Fungsi yang bersifat injektif dan surjektif disebut fungsi yang bijektif

Nilai Fungsi f(x)

             Jika f  suatu fungsi dan x  suatu input (masukan) untuk fungsi  f  maka nilai outputnya keluarannya) ditulis f(x) yang berarti f  dan x  atau nilai  f pada x. Misalkan f(x) = 5x + 1 + 2x, maka f(3)  menyatakan output dari hasil input x = 3 pada f(x), yaiitu :

f(3)   =  5(3) + 1 + 2(3)

          = 15 + 1 + 6    =  22

Contoh 1 :

1.      Diberikan fungsi  f: x →  2x + 2 dan g(x) = 5x – 4 dengan x  bilangan real. Carilah nilai dari

a.      f(2)

b.      f(-2)

c.       x untuk f(x) = 14

d.      g(3)

e.      g(-5)

f.        x untuk f(x) = g(x)

Jawab :

 f : x -> 2x + 2 berarti f(x) = 2x + 2

g(x) = 5x – 4

a.       f(2) = 2(2) + 2 = 4 + 2 = 8

b.    f(-2) = 2(-2) + 2 = -4 + 2 = -2

c.     2x + 2 = 14

      2x = 14 – 2   =  12

      X = 6

d.    g(3) = 5(3) – 4 = 15 – 4 = 11

e.    g(-5) = 5(-5) – 4 = -25 – 4  = -29

f.  2x + 2 = 5x – 4

    2 + 4 = 5x – 2x

    6 = 3x

    X = 2

Contoh 2 :

2.      Jika f(x)  = 2x² – 4 dan h(x) = x² + 5 untuk x ∈ R, carilah nilai dari :

a.      f(a)

b.      f(a + 2)

c.       f(a²)

Jawab :

a.    f(a) = 2a² – 4

b.    f(a + 2)  = 2(a + 2)² – 4

  = 2(a² + 4a + 4 ) – 4

  = 2a² + 8a  + 8 – 4

f(a + 2)    = 2a² + 8a + 4

         c.   f(a²)  = 2(a²)² – 4 = 2a⁴ – 4

Nilai fungsi f(f(x))

          Penentuan nilai fungsi f(f(x)) dapat dilakukan dengan memisalkan  y = f(x) dan mengubah x dalam fungsi y serta mengembalikannya lagi ke bentuk x

Contoh 1 :

            Diketahui f(x – 1) = x + 6.  Carilah f(x)  dan f(2).

Jawab :

            Bentuk fungsi dalam fungsi f( x – 1 ) = x + 6

            Misalkan  y = x – 1 →  x = y + 1

            f(y) = y + 1 + 6 = y +7

            Hal ini berarti : f(x) =  x + 7

            f(2) = 2 + 7 = 9

Beberapa Fungsi Khusus

1.      Fungsi Konstan

Suatu fungsi f : A → B disebut  fungsi konstan, apabila setiap anggota A dipasangkan dengan satu anggota B yang sama. Berarti f : A →  B  adalah fungsi konstan, apabila daerah hasil (range) dari f  hanya satu elemen. Formula fungsi konstan ditentukan oleh f(x) = k  dengan x ∈ R dan k  merupakan sebuah konstanta.

Contoh 1 :

             → R dengan rumus f(x) = 2 dengan daerah domain: {x | –2 ≤ x < 5}. Tentukan gambar grafiknya. Penyelesaian 

Grafik:

2. Fungsi Identitas

Disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri.
Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x. 

3. Fungsi Linear

fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.

Contoh 1 : 
Jika diketahui f(x) = 2x + 3, gambarlah grafiknya.
Penyelesaian:

Grafik : 

4. Fungsi Kuadrat

fungsi g : R → R  yang didefinisikan dengan formula g(x) = ax² + bc + c,  dengan a,b, dan c  konstanta real (a ≠ 0 ),dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.

 disebut fungsi kuadrat.

5. Fungsi Modulus atau Fungsi Nilai Mutlak

fungsi f(x) disebut fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.
f : x → | x | atau f : x → | ax + b |
f(x) = | x | artinya:

Grafiknya : 

6. Fungsi Tangga atau Fungsi Nilai Bulat Terbesar

fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar.
Contoh  :

Grafiknya : 

7. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

• Fungsi y = f(x)  disebut fungsi genap apabila grafiknya simetris terhadap sumbu Y, yaitu f(-x) = f(x)  untuk semua bilangan real x ∈ D_f.

• Fungsi y = f(x)  disebut fungsi ganjil apabila grafiknya simetris terhadap titik asal O (0,0). keadaan ini terjadi apabila  f(-x) = f(-x) untuk semua bilangan real x ∈ D_f.

Contoh soal 1 :

Tentukan fungsi f di bawah ini termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau tidak genap dan tidak ganjil.
1. f(x) = 6x³ + x
2. f(x) = cos x + 2
3. f(x) = 3x² – x 

Jawab  : 
1. f(x) = 6x³ + x

fungsi f(x) merupakan fungsi ganjil.

2. f(x) = cos x + 2

f(x) = –f(x)
 fungsi f(x) merupakan fungsi genap.

3. f(x) = 3x² – x 

Fungsi f(–x) ≠ f(x) dan f(–x) ≠ –f(x).
fungsi f(x) adalah tidak genap dan tidak ganjil.

Pengenalan Komposisi Dua Fungsi dan Invers Fungsi

A. Pengertian Relasi

         Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain ( elemen himpunan A ke elemen B). Himpunan A disebut dengan Domain dan himpunan B disebut dengan kodomain dan sekaligus Range

Diagram disamping dapat tuliskan sebagai Pasangan berurutan yaitu (1,2), (1,4), (2,2), (2,4), (4,4). 

Bilangan-bilangan pertama dari pasangan berurutan harus berada di Domain dan bilangan kedua harus berada di kodomain. Bilangan kedua dari pasangan berurutan disebut peta atau nilai relasi.

B. Pengertian Fungsi 

Diagram disamping menunjukkan suatu relasi. Relasi ini adalah relasi khusus yaitu hanya ada satu peta dari setiap elemen dalam domain ke kodomain. Relasi khusus ini disebut Fungsi. 

Definisi Fungsi

Misalkan A dan B adalah dua himpunan tidak kosong. suatu fungsi dari A ke B adalah aturan yang memasangkan setiap anggota A (A,B,C,D)  dengan tepat satu anggota B (P,Q,R,S)  dan ditulis : ƒ  : a -> b ( dibaca:  ƒ  suatu fungsi dari A ke B atau ƒ  memetakan A ke B).  intinya, Hanya ada satu peta dari setiap elemen dalam domain ke kodomain/range.

Himpunan A disebut domain atau daerah asal, Himpunan B disebut sebagai kodomain atau daerah kawan serta himpunan semua peta di B disebut range atau daerah hasil.

Contoh Soal 

1. Pada pemetaan    jika daerah asalnya x Î {2, 3, 4, 5 },  rangenya adalah...

Pembahasan :

f(2) = 3(2) + 2 = 8               f(4) = 3(4) + 2 = 14

f(3) = 3(3) + 2 = 11             f(5) = 3(5) + 2 = 17

Daerah hasilnya = {8, 11, 14, 17}

2. 1. Pada pemetaan  f : 5 – x,  jika daerah asalnya {-3, -2, -1, 0. 1, 2, 3, 4}, maka daerah hasilnya adalah …

Pembahasan :

f(-3) = 5 - (-3) = 8                    f(1) = 5 - 1 = 4

f(-2) = 5 - (-2) = 7                    f(2) = 5 - 2 = 3

f(-1) = 5 - (-1) = 6                    f(3) = 5 - 3 = 2

f(0)   = 5 - 0       = 5                     f(4) = 5 - 4 = 1

Daerah Hasilnya = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

C. Cara menyatakan Fungsi 

Fungsi : f  : A-> B  dapat dinyatakan dalam 3 bentuk :

1. Diagram Panah

Fungsi yang dinyatakan dalam diagram panah sering disebut sebagai Pemetaan,

Contoh Fungsi dan bukan Fungsi : 

2. Himpunan Pasangan Terurut

Fungsi sebagai himpunan pasangan terurut dari dua bilangan real x dan y adalah himpunan (x, y) dengan x ϵ Df  paling banyak muncul satu kali dalam setiap pemetaan dari setiap x harus mempunyai pasangan di kodomain (Kf ).

Contoh : A = {1,2} dan B = {3,4}. manakah yang merupakan fungsi  f  : A-> B dari setiap himpunan pasangan terurut dibawah ini 

a. {(1,4), (2,3)}

b. {(1,3), (2,4)}

c. {(1,4), (1,3)} 

d. {(2,4), (2,3)}

    Jawab : 

 (a) dan (b) merupakan FUNGSI karena setiap anggota A mempunyai pasangan di B dan setiap A hanya muncul satu kali dalam setiap pemetaan. 

(b) merupakan BUKAN FUNGSI karena 1 muncul dua kali serta 2 tidak mempunyai peta di B.

(c) merupakan BUKAN FUNGSI karena 2 muncul dua kali serta 1 tidak mempunyai peta di B.

3. Grafik Fungsi 

Grafik fungsi f(x) pada koordinat Cartesius terbentuk dari titik (x,y) dengan x ϵ Df dan  y = f(x) ϵ  Rf.